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Analyse et calcul matriciel

Code UE : MVA101

  • Cours + travaux pratiques
  • 6 crédits

Responsable(s)

Alexis HERAULT

Public, conditions d’accès et prérequis

Avoir été reçu à l'UE MVA005 ou pouvoir justifier la réussite à un examen portant sur un programme de niveau comparable.

Objectifs pédagogiques

  • Partie Analyse : Apprendre la représentation des fonctions par des séries, les principales transformations et leurs applications.
  • Partie Algèbre : Apprendre le calcul matriciel.

Mots-clés

Contenu

1 Généralités sur les séries numériques
 
 
  • Suites numériques : rappels.
  • Séries numériques : définitions et exemples (Série géométrique) ; convergence absolue ; critères de convergence pour séries à termes positifs (règle de D'Alembert, règle de Cauchy, etc.) ; Critères de convergence pour séries à termes quelconques (Séries alternées, Règle d'Abel, etc.).
 
2 Représentation des fonctions
  • Séries entières, disque de convergence, fonctions analytiques, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles. 
  • Fonctions périodiques, séries trigonométriques, coefficients de Fourier, Séries de Fourier, Théorème de Jordan-Dirichlet, Formule de Bessel-Parseval. 
 
3 Transformation de Fourier
  • Espaces L^1 et L^2 ; Transformée de Fourier ; Transformée de Fourier inverse ; propriétés de la Transformée de Fourier (Dilatation, Retard, Translation, Symétrie) ; Transformée de Fourier et dérivation ; formule de Bessel-Parseval ; Convolution. 
 
4 Calcul matriciel.
  • Matrices à coefficients réels (et éventuellement complexes), opérations sur les matrices.
  • Déterminant, matrices inversibles. (On insistera sur la vision géométrique du déterminant et des matrices inversibles: le déterminant est une forme volume, les matrices inversibles conservent les parallélogrammes, les parallélépipèdes,...Le calcul du déterminant ne sera présenté qu'en dimension 2 et 3. Les considérations numériques pourront être évoquées pour justifier la nécessité de développer des outils de calcul scientifique performants.)
  • Valeurs propres, vecteurs propres, multiplicité des valeurs propres, diagonalisation.
  • Application au calcul des puissances d'une matrice et aux exponentielles de matrices. Exemple en mécanique: matrice d'inertie.
 
5 Résolution de systèmes différentiels
  • Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice. A ce sujet on introduira rapidement la transformée de Laplace.
 

Bibliographie

  • THUILLIER, BELLOC : Mathématiques analyse 3 (Masson)
  • GRIFONE : Algèbre linéaire (Editions CEPADUES)
  • Laurent Schwarz : Méthodes mathématiques de la physique. Cet ouvrage est hors de portée a priori. Il est indiqué car il constitue une référence fondamentale pour les applications de l'analyse en physique.

Cette UE apparaît dans les diplômes et certificats suivants

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EPN06 Mathématiques et statistiques
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Sabine Glodkowski
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UE

    • Paris
      • Centre Cnam Paris
        • 2020-2021 1er semestre : Présentiel soir ou samedi
        • 2020-2021 2nd semestre : FOAD 100%
        Comment est organisée cette formation ?

        Organisation de la modalité FOAD 100%

        Planning

        2ème semestre

        • Date de démarrage : 15/02/2021
        • Date limite d'inscription : 24/04/2021
        • Regroupements facultatifs : aucun
        • Date de 1ère session d'examen : la date sera publiée sur le site du centre ou l'ENF
        • Date de 2ème session d'examen : la date sera publiée sur le site du centre ou l'ENF

        Accompagnement

        • Plateforme Moodle
        • Forum
        • Messagerie intégrée à la plateforme
        • Classe virtuelle

        Ressources mises à disposition de l'auditeur

        • Documents de cours
        • Enregistrement de cours
        • Documents d'exercices, études de cas activités
        • Bibliographie et webographie

        Modalités de validation

        • Examen sur table
        :
    • Liban
      • Liban
        • 2020-2021 1er semestre : Présentiel soir ou samedi
        • 2021-2022 1er semestre : Présentiel soir ou samedi